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因果効果 causal effect

因果効果 causal effect は，潜在アウトカムモデル（Potential Outcome model）に基づいて定義される．
- 曝露因子 $A$ に曝露した場合のアウトカム $Y^{a=1}$
- 曝露因子 $A$ に曝露しなかった場合のアウトカム $Y^{a=0}$
個人レベルで $Y^{a=1}$ と $Y^{a=0}$ を比較する（＝個体レベルでの因果効果 ICE;Individual causal effect を調べる）ことは，タイムマシンでもない限り困難．
- 現実世界においては $Y^{a=1}$ か $Y^{a=0}$かのどちらかしか観測されず，もう片方は必ず欠測になる¹⁾
しかし一定の条件下で，集団の平均として「平均因果効果 ACE」を推定することはできる

$$ E\left[ Y^{a=1}\right] -E\left[ Y^{a=0}\right] $$

$E\left[ Y^{a=1}\right] -E\left[ Y^{a=0}\right]$ は〈因果効果〉を表す．
- しかし反事実の世界（全員が $A$ に曝露した場合と全員が $A$ に曝露しなかった場合を比較したもの）であり，手元にある観察データからは原理上わからない．
$E\left[ Y|A=1\right] -E\left[ Y|A=0\right]$ は〈統計的関連〉を表す．
- これであれば，現実世界のデータそのもの（実際に曝露 $A$ を受けている人の平均とそうでない人の平均）であり算出可能．

上記の 2. から 1. をうまく推定したいが，大抵の場合は背景因子が揃っていないこと（＝交絡）が問題になる（健康意識の違い，医療アクセス，併存疾患，etc…）
いくつかの仮定をおく場合には，上の２つを近づけて考えることができる（=Identification）

$$ E\left[ Y^{a=1}\right] -E\left[ Y^{a=0}\right] $$

母集団のうち “共変量 $L$ の層の中で” 全員が因子 $A$ に曝露した ($A=1$) 場合と，全員が因子 $A$ に曝露しなかった場合 ($A=0$) の比較 e.g. 女性のみ

$$ E\left[ Y^{a=1}|L\right] -E\left[ Y^{a=0}|L\right] $$

人種によって効果修飾 Effect Modification
- たとえば教育効果で得られる恩恵が white > black であったり
- 人種の分布が異なる母集団では Marginal Effect が変わる可能性がある

求めたい条件付き Potential Outcome（$L$ が同じ人たちにおける全体での潜在アウトカムの期待値）は $$ E\left[ Y^{a=1}|L\right]$$

ここで Conditional Exchangeability が仮に成立する（$L$ が同じ人たちの中では曝露因子 $A$ はランダムになっていると捉える）とすると，

$$E\left[ Y^{a}|A=1,L\right] = E\left[ Y^{a}|A=0,L\right] $$

であるから，全体での期待値は治療を受けているの期待値とも同じになる．すなわち

$$ E\left[ Y^{a=1}|L\right] \Longrightarrow E\left[ Y^{a=1}|A=1,L\right] \cdots \ \left( 1\right) $$

と近似できる．さらに Consistency が成立するとき

$$ E\left[ Y^{a}|A=a\right] = E\left[ Y|A=a\right] $$

であるから，

$$ E\left[ Y^{a=1}|A=1,L\right] \Longrightarrow E\left[ Y|A=1,L\right] \cdots \ \left( 2\right) $$

¹⁾

通称 “因果推論の根本的問題” Fundamental Problem of Causal Inference

²⁾

= ATE；Average Treatment Effect