$$E\left[ Y|A,L\right] =\beta_{0} +\beta_{1} A+\beta_{2} L$$
$$E\left[ Y|A=1,L=1\right] - E\left[ Y|A=0,L=1\right] = (\beta_{0} +\beta_{1}+\beta_{2}) - (\beta_{0} +\beta_{2})=\beta_{1}$$
$$E\left[ Y|A=1,L=0\right] - E\left[ Y|A=0,L=0\right] = (\beta_{0} +\beta_{1}) - (\beta_{0}) = \beta_{1}$$
$$E\left[ Y|A,L\right] =\beta_{0} +\beta_{1} A+\beta_{2} L+\beta_{3} (A*L)$$
$$\beta_{1}*0.8+(\beta_{1}+\beta_{3})*0.2$$
| 1. 次元の呪い curse of dimensionality | 条件づける変数が増えると，考えるべき条件付き期待値の数が激増する．二値変数だけでも調整変数が10個（喫煙有無，飲酒有無，etc…）あれば，$2^{10}$通りの組み合わせで「条件付き期待値」が生じる．そのためモデルの単純化が必要．それがパラメトリックということ |
| 2. 連続変数の条件付けのため | 連続変数 $A$を考えるとき，全ての$A$の値の層を考えるのは不可能．たとえば脳卒中リスク$Y$と曝露因子である血圧$A$の関連性を考えた時，$A$は連続変数である．おおむね $A$と比例関係に $Y$は増えていくデータが得られているかもしれないが，手元の100例のサンプルにはピッタリ $A=155$というケースは存在しないかもしれない．このようなとき，周辺データの情報を借りて予想をつけて直線を引くしかない．それがパラメトリックモデル． |
$$ E\left[ Y|A,L_{1},L_{2}\right] =\beta_{0} +\beta_{1} A+\beta_{2} L_{1}+\beta_{3} L_{2} $$
このような回帰式を用いるとき，つまり $A$，$L_{1}$, $L_{2}$ の掛け算項を含まない推定をするとき，$A$ とアウトカム $Y$ との関連が $L_{1}$, $L_{2}$ によらず常に一定である（=Constant Effect) ということを前提にしている
$A$が二値変数の場合であれば，求めたい因果効果は
$$ E\left[ Y|A=1,L_{1},L_{2}\right] -E\left[ Y|A=0,L_{1},L_{2}\right] $$
となるが，たとえば$L_{1}=0$, $L_{2}=0$のとき，それは
$$E\left[ Y|A=1,L_{1}=0,L_{2}=0\right] -E\left[ Y|A=0,L_{1}=0,L_{2}=0\right] = \beta_{1}$$
となる．
同様に $L_{1}=1$, $L_{2}=1$のとき，
$$E\left[ Y|A=1,L_{1}=1,L_{2}=1\right] -E\left[ Y|A=0,L_{1}=1,L_{2}=1\right] =\beta_{1}$$ である．
$A$による治療効果は，$L_{1}$, $L_{2}$によらないということ．